Media móvil Este ejemplo le enseña cómo calcular la media móvil de una serie de tiempo en Excel. Un avearge móvil se utiliza para suavizar las irregularidades (picos y valles) para reconocer fácilmente las tendencias. 1. En primer lugar, permite echar un vistazo a nuestra serie de tiempo. 2. En la ficha Datos, haga clic en Análisis de datos. Nota: no puede encontrar el botón de Análisis de Datos Haga clic aquí para cargar el complemento Herramientas para análisis en. 3. Seleccionar la media móvil y haga clic en OK. 4. Haga clic en el cuadro rango de entrada y seleccione el rango B2: M2. 5. Haga clic en el cuadro Intervalo y escriba 6. 6. Haga clic en el cuadro Rango de salida y seleccione la celda B3. 8. Trazar la curva de estos valores. Explicación: porque nos permite establecer el intervalo de 6, la media móvil es el promedio de los 5 puntos de datos anteriores y el punto de datos actual. Como resultado, los picos y los valles se alisan. El gráfico muestra una tendencia creciente. Excel no puede calcular el promedio móvil de los primeros 5 puntos de datos debido a que no hay suficientes puntos de datos anteriores. 9. Repita los pasos 2 a 8 para el intervalo 2 y el intervalo 4. Conclusión: Cuanto mayor sea el intervalo, más los picos y los valles se alisan. Cuanto más pequeño sea el intervalo, más cerca de los promedios móviles son los puntos de datos reales. ¿Te gusta este sitio web gratuito Por favor, comparte esta página en GoogleMoving Forecasting media Introducción. Como se puede adivinar que estamos buscando a algunos de los métodos más primitivos a los pronósticos. Pero esperemos que estos son, al menos, una introducción a la pena algunos de los problemas informáticos relacionados con la aplicación de las previsiones en hojas de cálculo. En este sentido vamos a seguir iniciando al principio y empezar a trabajar con el movimiento promedio de las proyecciones. Mover promedio de las proyecciones. Todo el mundo está familiarizado con el movimiento promedio de las proyecciones con independencia de que ellos creen que son. Todos los estudiantes universitarios que hacen todo el tiempo. Piense en sus resultados de las pruebas en un curso en el que va a tener cuatro pruebas durante el semestre. Vamos a suponer que tienes un 85 en su primera prueba. ¿Qué le predecir a su segunda calificación de la prueba ¿Qué opinas tu maestro predeciría para su próxima calificación de la prueba ¿Qué opinas sus amigos podrían predecir para su próxima calificación de la prueba ¿Qué opinas sus padres podrían predecir para su próxima calificación de la prueba Independientemente de todo el blabbing que podría hacer a sus amigos y los padres, ellos y su profesor es muy probable que esperar a conseguir algo en la zona de los 85 que acaba de recibir. Pues bien, ahora vamos a suponer que a pesar de su auto-promoción a sus amigos, que sobre-estimación de sí mismo y figura que puede estudiar menos para la segunda prueba y así se obtiene un 73. Ahora lo están todos los interesados y sin preocuparse de ir a anticipa que recibirá en su tercera prueba Hay dos enfoques muy probables para que puedan desarrollar una estimación independientemente de si van a compartirlo con ustedes. Pueden decirse a sí mismos, quotThis tipo está siempre soplando humo sobre su inteligencia. Hes va a conseguir otro 73 si hes suerte. Tal vez los padres tratan de ser más de apoyo y decir, quotWell, hasta ahora usted ha conseguido un 85 y un 73, por lo que tal vez debería figurar en conseguir alrededor de un (85 73) / 2 79. No sé, tal vez si lo hizo menos fiestas y no estábamos moviendo la comadreja por todo el lugar y si usted comenzó a hacer mucho más que estudia usted podría conseguir un mayor score. quot Ambas estimaciones están desplazándose hacia el promedio de las proyecciones. El primero consiste en utilizar solamente su puntuación más reciente para predecir el rendimiento futuro. Esto se llama un pronóstico promedio móvil utilizando un período de datos. El segundo es también un pronóstico promedio móvil pero utilizando dos períodos de datos. Vamos a suponer que todas estas personas que revienta en su gran mente han especie de que cabreado y decide hacer el bien en la tercera prueba para sus propias razones y poner una puntuación más alta frente a su quotalliesquot. Se toma la prueba y su puntuación es en realidad un Todo el mundo 89, incluyendo a sí mismo, está impresionado. Así que ahora usted tiene la prueba final del semestre por delante y como siempre se siente la necesidad de incitar a todos a hacer sus predicciones acerca de cómo hacer interminables en la última prueba. Bueno, esperamos que pueda ver el patrón. Ahora, con suerte se puede ver el patrón. ¿Cuál cree que es el más preciso del silbido mientras trabajamos. Ahora volvemos a nuestra nueva empresa de limpieza iniciado por su media hermana distanciada llamados silbido mientras trabajamos. Usted tiene algunos datos de ventas anteriores representados por la siguiente sección de una hoja de cálculo. Primero presentamos los datos para un periodo de tres moviéndose pronóstico promedio. La entrada de la celda C6 debe ser Ahora se puede copiar esta fórmula de celda a las otras celdas C7 a C11. Observe cómo los medios deja atrás los datos históricos más recientes, pero utiliza exactamente los tres períodos más recientes disponibles para cada predicción. También debe notar que nosotros no necesitamos realmente para hacer las predicciones para los últimos períodos con el fin de desarrollar nuestra predicción más reciente. Esto es definitivamente diferente del modelo de suavizado exponencial. He incluido el predictionsquot quotpast porque vamos a utilizar en la siguiente página Web para medir la validez de predicción. Ahora quiero dar a conocer los resultados análogos para un período de dos mover pronóstico promedio. La entrada de la celda C5 debe ser Ahora se puede copiar esta fórmula de celda a las otras células C6 a C11. Observe cómo ahora sólo se utilizan las dos piezas más recientes de datos históricos para cada predicción. Una vez más he incluido el predictionsquot quotpast con fines ilustrativos y para su posterior uso en la validación de previsión. Algunas otras cosas que son de importancia de aviso. Para un m-periodo en movimiento pronóstico promedio sólo el m valores de los datos más recientes se utilizan para hacer la predicción. es necesario nada más. Para un m-período de pronóstico promedio en movimiento, al hacer predictionsquot quotpast, observe que la primera predicción se produce en el periodo m 1. Ambas cuestiones será muy significativa cuando desarrollamos nuestro código. El desarrollo de la Función móvil media. Ahora tenemos que desarrollar el código para el pronóstico promedio móvil que se puede utilizar de manera más flexible. El código siguiente. Observe que las entradas son para el número de períodos que desea utilizar en el pronóstico y el conjunto de valores históricos. Se puede almacenar en cualquier libro que desee. Media móvil de función (históricos, NumberOfPeriods) As Single Declarar e inicializar las variables de artículo Dim Dim como variante Contador As Integer Dim Dim Acumulación As Single HistoricalSize como número entero Inicialización de variables de contador 1 0 Acumulación Determinación del tamaño de la matriz histórica HistoricalSize Historical. Count para el contador 1 Para NumberOfPeriods acumulando el número apropiado de la mayoría de los valores recientes observadas previamente Acumulación acumulación histórica (HistoricalSize - NumberOfPeriods contador) media móvil de acumulación / NumberOfPeriods el código será explicada en clase. Quiere posicionar la función de la hoja de cálculo para que el resultado del cálculo aparece donde debería recibir los following. OR-Notes o notas son una serie de notas introductorias sobre temas que caen bajo el título general del campo de la investigación de operaciones (O). Ellos fueron utilizados originalmente por mí en un curso introductorio o doy en el Imperial College. Ahora están disponibles para su uso por cualquier estudiantes y profesores interesados en o está sujeto a las siguientes condiciones. Una lista completa de los temas disponibles en O-Notes se puede encontrar aquí. ejemplos de pronósticos de pronóstico ejemplo 1996 examen UG La demanda de un producto en cada uno de los últimos cinco meses se muestra a continuación. Utilice un promedio móvil de dos meses para generar un pronóstico para la demanda en el mes 6. Aplicar suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,9 para generar un pronóstico de demanda de la demanda en el mes 6. ¿Cuál de estas dos previsiones prefiere y por whySolution Los dos mes media móvil de dos meses a cinco es dada por: la previsión para el mes seis es sólo el promedio móvil para el mes antes de que esto es la media móvil para el mes m 5 5 2350. la aplicación de suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,9 obtenemos: Como antes de que el pronóstico para el mes seis es sólo el promedio para el mes 5 5 M 2386 para comparar las dos predicciones se calcula la media desviación al cuadrado (MSD). Si hacemos esto, nos encontramos con que para el movimiento MSD media (15 - 19) sup2 (18 - 23) sup2 (21 - 24) SUP2 / 3 16,67 y para la media suavizada exponencialmente con una constante de alisamiento de 0,9 MSD (13 - 17 de ) sup2 (16.60 - 19) ¿sup2 (18.76 - 23) sup2 (22.58 - 24) SUP2 / 4 10.44 en general vemos que aparece suavizado exponencial para dar el mejor un mes antes pronósticos ya que tiene una menor MSD. Por lo tanto se prefiere que el pronóstico de 2386 que ha sido producido por suavizado exponencial. La previsión de ejemplo 1994 examen UG La siguiente tabla muestra la demanda de una nueva loción de afeitar en una tienda para cada uno de los últimos 7 meses. Calcular un promedio móvil de dos meses para dos meses a siete. ¿Cuál sería su pronóstico para la demanda en el mes ocho Aplicar suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,1 para obtener una previsión de la demanda en el mes ocho. ¿Cuál de las dos previsiones para el mes de ocho prefiere y por qué El encargado de la tienda cree que los clientes están cambiando a este nuevo después del afeitado de otras marcas. Discutir cómo se puede modelar este comportamiento de conmutación e indicar los datos que se requeriría para confirmar si este cambio se está produciendo o no. Solución El promedio móvil de dos meses para seis y cincuenta y ocho meses viene dada por: La previsión para el mes de ocho es sólo el promedio móvil para el mes antes de que esto es la media móvil para el mes 7 m 7 46. La aplicación de suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,1 obtenemos: como antes, el pronóstico para el mes de ocho es más que el promedio para el mes 7 7 M 31.11 31 (ya que no podemos tener una solicitud fraccionaria). Para comparar los dos pronósticos se calcula la media desviación al cuadrado (MSD). Si hacemos esto, nos encontramos con que para la media móvil y para el promedio suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,1 En general vemos que la media móvil bienal mes aparece para dar el mejor un mes antes pronósticos ya que tiene una menor MSD. Por lo tanto se prefiere que el pronóstico de 46 que ha sido producido por el promedio móvil de dos meses. Para examinar el cambio tendríamos que utilizar un modelo de proceso de Markov, donde afirma marcas y necesitaríamos información de estado inicial y las probabilidades de cambiar de proveedor (a partir de encuestas). Tendríamos que ejecutar el modelo en datos históricos para ver si tenemos un ajuste entre el modelo y el comportamiento histórico. La previsión de ejemplo 1992 examen UG La siguiente tabla muestra la demanda de una determinada marca de la maquinilla de afeitar en una tienda para cada uno de los últimos nueve meses. Calcular un promedio móvil de tres meses para tres meses a nueve. ¿Cuál sería su pronóstico para la demanda en el mes de diez Aplicar suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,3 para obtener una previsión de la demanda en el mes diez. ¿Cuál de los dos pronósticos para el mes de diez prefieres y por qué Solución El promedio móvil de tres meses para meses 3 a 9 viene dada por: La previsión para el mes 10 es sólo el promedio móvil para el mes antes de que esto es la media móvil para el mes 9 9 m 20.33. Por lo tanto (ya que no podemos tener una solicitud fraccionaria) la previsión para el mes 10 es 20. La aplicación de suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,3 obtenemos: Como antes, el pronóstico para el mes 10 es sólo el promedio para el mes 9 M 9 18,57 19 (como lo no puede tener la demanda fraccionada). Para comparar los dos pronósticos se calcula la media desviación al cuadrado (MSD). Si hacemos esto, nos encontramos con que para la media móvil y para el promedio suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,3 En general vemos que la media móvil de tres mes aparece para dar el mejor un mes antes pronósticos ya que tiene una menor MSD. Por lo tanto se prefiere que el pronóstico de 20 que ha sido producido por la media móvil de tres meses. La previsión de ejemplo 1991 examen UG La siguiente tabla muestra la demanda de una determinada marca de máquina de fax en una tienda por departamentos en cada uno de los últimos doce meses. Calcular el promedio móvil de cuatro meses para los meses 4 a 12. ¿Cuál sería su pronóstico para la demanda en el mes 13 Aplicar suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,2 para obtener una previsión de la demanda en el mes 13. ¿Cuál de las dos previsiones para el mes 13 preferís y por qué ¿Qué otros factores no considerados en los cálculos anteriores, podrían influir en la demanda de la máquina de fax en el mes 13 Solución el promedio de cuatro meses para los meses de 4 a 12 viene dada por: m 4 (23 19 15 12) / 4 17,25 m 5 (27 23 19 15) / 4 21 m 6 (30 27 23 19) / 4 24,75 m 7 (32 30 27 23) / 4 28 m 8 (33 32 30 27) / 4 30,5 m 9 ( 37 33 32 30) / 4 33 m 10 (41 37 33 32) / 4 35.75 m 11 (49 41 37 33) / 4 40 m 12 (58 49 41 37) / 4 46.25 el pronóstico para el mes 13 es sólo el movimiento promedio para el mes antes de que esto es la media móvil de 12 meses m 12 46.25. Por lo tanto (ya que no podemos tener una solicitud fraccionaria) la previsión para el mes 13 es 46. La aplicación de suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,2 obtenemos: Como antes, el pronóstico para el mes 13 es sólo el promedio para el mes 12 M 12 38.618 39 (como lo no puede tener la demanda fraccionada). Para comparar los dos pronósticos se calcula la media desviación al cuadrado (MSD). Si hacemos esto, nos encontramos con que para la media móvil y para el promedio suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,2 En general vemos que el promedio móvil de cuatro mes aparece para dar el mejor un mes antes pronósticos ya que tiene una menor MSD. Por lo tanto se prefiere que el pronóstico de 46 que ha sido producido por el promedio móvil de cuatro meses. los cambios estacionales de precios de publicidad de la demanda, tanto de esta marca y otras marcas en general la situación económica nueva tecnología ejemplo Forecasting 1989 UG examen La siguiente tabla muestra la demanda de una determinada marca de horno de microondas en unos grandes almacenes de cada uno de los últimos doce meses. Calcular un promedio móvil de seis meses para cada mes. ¿Cuál sería su pronóstico para la demanda en el mes 13 Aplicar suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,7 para obtener una previsión de la demanda en el mes 13. ¿Cuál de los dos pronósticos para el mes 13 ¿O prefiere y por qué Solución Ahora no puede calcular una de seis meses de media móvil hasta que tengamos al menos 6 observaciones - es decir, sólo podemos calcular un promedio ejemplo de mes 6 en adelante. Por lo tanto tenemos: m 6 (34 32 30 29 31 27) / 6 30.50 m 7 (36 34 32 30 29 31) / 6 32.00 m 8 (35 36 34 32 30 29) / 6 32,67 m 9 (37 35 36 34 32 30) / 6 34.00 m 10 (39 37 35 36 34 32) / 6 35.50 m 11 (40 39 37 35 36 34) / 6 36,83 m 12 (42 40 39 37 35 36) / 6 38.17 El pronóstico para el mes 13 es sólo el promedio móvil para el mes antes de que esto es la media móvil de 12 meses m 12 38.17. Por lo tanto (ya que no podemos tener una solicitud fraccionaria) la previsión para el mes 13 es 38. La aplicación de suavizado exponencial con una constante de alisamiento de 0,7 obtenemos: Ver la solución paso a paso para: simple promedio de tres meses último mes último año Esta pregunta fue respondida el 05 de mayo de 2011. Ver los quotTires respuesta para Youquot Estudio de Caso Consulte su lectura para esta unidad en el texto Coyle para esta tarea. Leer los neumáticos para Ti, Inc. Estudio de caso, en la pág. 265. En un documento de 12 páginas (sin incluir el título y páginas de referencia), responder a las preguntas 1, 2 amperios 6 y adjuntar la hoja de cálculo Tires4U Caso con cálculos detallados. Tenga en cuenta que las Tablas en pg 237 (Capítulo 7) va a ser muy útil para completar la tarea. Neumáticos para Usted, Inc. neumáticos por Ti, Inc. (TFY), fundada en 1987, es un taller de reparación automotriz que se especializa en neumáticos de recambio. En Altoona, Pennsylvania, TFY ha crecido con éxito en los últimos años debido a la adición de un nuevo director general, Katie McMullen. Desde sustitución de los neumáticos es una parte importante del negocio TFYs (que también lleva a cabo los cambios de aceite, pequeñas reparaciones mecánicas, etc.), Katie se sorprendió por la falta de previsiones para el consumo de los neumáticos para la empresa. Su Mecánico mayor, Skip Grenoble, le dijo que por lo general almacenan para este año lo que vendieron el año pasado. Él fácilmente admitió que en varias ocasiones a lo largo de las salidas de la estación Stock ocurrido y los clientes tenían que ir a otro lugar para los neumáticos. Aunque muchos reemplazos de neumáticos eran de neumáticos defectuosos o destruidos, la mayoría de los neumáticos fueron instalados en los coches cuyos neumáticos originales se habían llevado a cabo. Muy a menudo, cuatro neumáticos se han instalado al mismo tiempo. Katie estaba determinado a tener una mejor idea de la cantidad de neumáticos para mantener en stock en las diferentes meses del año. A continuación se ofrece un resumen de los últimos años las ventas de neumáticos individuales por mes: Neumáticos Mes usados enero 510 febrero 383 de marzo de 1403 abril 1913 mayo 1148 junio 893 julio 829 agosto 638 septiembre 2168 octubre 1530 noviembre 701 diciembre 636 preguntas del caso: Katie le ha contratado para determinar la mejor técnica para la previsión de la demanda TFY basado en los datos dados. 1. Calcular un pronóstico usando una simple media móvil de tres meses. 2. Calcular un pronóstico utilizando un periodo de tres media móvil ponderada. Use pesos de 0,60, 0,25, y 0,15 para el período más reciente, el segundo periodo más reciente, y el tercer período más reciente, respectivamente. 6. Sobre la base de los diversos métodos utilizados para calcular un pronóstico para TFY, método que produce el mejor pronóstico porqué cómo se puede mejorar esta previsión ADJUNTO previsualización Descargar Aplicación sencilla Tres Mes mes promedio Última Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre noviembre diciembre demanda total Promedio demanda Avg Bias Abs Dev Mean Abs Dev 510 383 1403 1913 1148 893 829 638 2168 1530 701 636 12752 1.062,67 3 periodo en movimiento promedio de 3 período de predicción de error 765,3 1.233,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 765 1,233 0 0 0 0 0 0 0 1147.67 -85.00 893.00 829.00 638.00 701.00 636.00 2168.00 1530.00 8457.67 total Bias Bias x 939.74 1233.67 137.07 Promedio simple caluclation ejemplo (5103831403) / 3 765,3 (promedio de marzo, la previsión de abril) ponderado promedio de tres meses (0.6,0.25, 0.15) 0,6 Mes 0.25 0.15 Último Año 3 período de 3 periodo en movimiento promedio pronosticado 510 383 1403 1.014,1 1913 1.556,0 1014 1148 0.0 1556 893 0.0 0 829 0.0 0 638 0.0 0 2168 0,0 0 1530 0.0 0 701 0.0 0 636 0.0 0 12752 1.062,67 total Bias Bias x enero febrero marzo abril mayo junio Julio agosto Septiembre octubre noviembre diciembre total demanda Promedio Promedio demanda Bias Abs Abs Dev media ponderada Dev ejemplo de cálculo de promedios (0,61403) (. 25383) (. 15510) 1.014,1 (promedio de marzo, la previsión de abril) 1014.05 Error 899 893 829 638 -408 2.168 1.530 701 636 876,22 7.885,95 -1.752,05 -194,67 6. ¿Qué método produce el mejor pronóstico Para evaluar la precisión se puede comparar el ampquotMean Abolute Deviationampquot cuanto menor sea el valor, más precisa el pronóstico. Sobre la base de las previsiones, tenemos: MAD móvil simple medio: 137.07 3-Mes móvil ponderado MAD media: -194,67 Bear27 registró una pregunta middot 04 de mayo 2011 a 09:29 PMC calcular la desviación media absoluta locos el uno Esta vista previa muestra páginas 42ndash44 . Regístrese para ver el contenido completo. do. Se calcula la desviación absoluta media (MAD) para cada pronóstico. ¿Qué es mejor 11. a. Abril a 130 de septiembre de 150, 160, 170, 160, 150. b. Abril a 136 de septiembre de 146, 150, 159, 153, 146. c. suavizado exponencial obtenido mejores resultados. 12. MAD 58,3 TS - 6. Modelo está dando una mala predicción. 13. a. MAD 23.75. segundo. TS 7.16. do. El seguimiento de la señal de 7.16 modelo demasiado grande es pobre. 14. a. Ver ISM. segundo. Ver ISM. do. MAD sencilla 2.90 Con tendencia MAD 0,86. El modelo de tendencia es mejor. Esta vista previa tiene secciones intencionada borrosa. Regístrese para ver la versión completa. D emanda DMINISTRACIÓN Y F ORECASTING capítulo 15 509 15 En este problema, que son a prueba la validez de su modelo de pronóstico. Estos son los pronósticos de un modelo que ha estado usando y las demandas reales que ocurrieron: W EEK F ORECAST A ctual 1 800 900 2 850 1000 3 950 1050 4 950 900 5 1000 900 6 975 1100 Utilice el método indicado en el texto de calcular la señal de MAD y el seguimiento. A continuación, decidir si el modelo de pronóstico que ha estado utilizando está dando resultados razonables. 16 Supongamos que su stock de mercaderías ventas se mantiene en base a la demanda prevista. Si el personal de las ventas distributorrsquos llamada en el primer día de cada mes, calcular sus ventas previstas por cada uno de los tres métodos solicitados aquí. A ctual junio 140 julio 180 agosto 170 a. El uso de una media móvil simple de tres meses, lo que es el pronóstico para septiembre b. El uso de un promedio móvil ponderado, ¿cuál es el pronóstico para septiembre con pesos de 0.20. 30, y 0,50 para junio, julio y agosto, respectivamente, c. El uso de suavizado exponencial simple y suponiendo que la previsión para junio había sido de 130, las ventas previstas para septiembre con un alfa constante de alisamiento de 0,30. 17 demanda histórica de un producto es la siguiente: D emanda abril 60 mayo 55 junio 75 julio 60 agosto, el 80 septiembre de 75 a. Usando un simple promedio móvil de cuatro meses, calcular un pronóstico para octubre. segundo. El uso de suavizado exponencial simple con un 0,2 y de un septiembre PRONÓSTICO 65, calcular un pronóstico para octubre. do. El uso de regresión lineal simple, el cálculo de la línea de tendencia para los datos históricos. Digamos que el eje X es de 1 abril, 2 de mayo, y así sucesivamente, mientras que el eje Y es la demanda. re. Calcular un pronóstico para octubre. ventas TRIMESTRE Q I II III IV año pasado 23.000 27.000 18.000 9.000 Este año 19,000 24,000 15,000 Usando el procedimiento enfoque de pronóstico descrito en el texto, el pronóstico esperado para: 18 Ventas por trimestre para el año pasado y los primeros tres trimestres de este año fueron los siguientes el cuarto trimestre de este año. 19 La siguiente tabla muestra la demanda del producto predicho usando el método de pronóstico particular, junto con la demanda actual que ha ocurrido: F ORECAST A ctual 1,550 1,400 1,500 1,500 1,700 1,600 1,750 1,650 1,800 1,700 a. Calcular la señal de rastreo utilizando la desviación absoluta media y funcionando suma de los errores de predicción. segundo. Discutir si su método de pronóstico está dando buenas predicciones. 15. MAD 104 T S 3.1. El TS es 3,1 en la semana 6. Este es un valor bastante alto, lo que indica que el modelo es inaceptable. 16. a. F septiembre 163,3. segundo. F septiembre 167. c. F septiembre 154. 17. a. F 72,5 octubre. segundo. 67. c. Y 54 3,86 x. re. 81. 18. Uso estrategia prevé un 5 a 4 ° trimestre: F IV 7.500. Este es el final de la vista previa. Regístrese para acceder al resto del documento.
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